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Mathematics-Online course: Linear Algebra - Basic Structures - Groups and Fields

Operation Tables

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The operation $ \diamond$ on a finite group $ G=\{g_1,\ldots,g_n\}$ can be defined by a matrix $ A$, where

$\displaystyle a_{i,j} = g_i \diamond g_j\, . $

The following figure shows all possible operation tables (irrespective of permutation) for groups with $ n\le 4$.

$ n=2$
$ \diamond$ $ e$ $ a$
$ e$ $ e$ $ a$
$ a$ $ a$ $ e$
    
$ n=3$
$ \diamond$ $ e$ $ a$ $ b$
$ e$ $ e$ $ a$ $ b$
$ a$ $ a$ $ b$ $ e$
$ b$ $ b$ $ e$ $ a$
    
$ n=4$
$ \diamond$ $ e$ $ a$ $ b$ $ c$
$ e$ $ e$ $ a$ $ b$ $ c$
$ a$ $ a$ $ e$ $ c$ $ b$
$ b$ $ b$ $ c$ $ e$ $ a$
$ c$ $ c$ $ b$ $ a$ $ e$
    
$ n=4$
$ \diamond$ $ e$ $ a$ $ b$ $ c$
$ e$ $ e$ $ a$ $ b$ $ c$
$ a$ $ a$ $ e$ $ c$ $ b$
$ b$ $ b$ $ c$ $ a$ $ e$
$ c$ $ c$ $ b$ $ e$ $ a$

All these groups are Abelian as we can see from the symmetry of matrices $ A$ ( $ a_{i,j}=a_{j,i}$). The first non-Abelian group has $ 6$ elements and can be identified with the permutations of $ \{1,2,3\}$.

(Authors: Burkhardt/Höllig/Hörner)
  automatically generated 4/21/2005